LIMITES Y SUS METODOS

CONCEPTO DE LIMITE

Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A medida que avance el curso se notará que éste concepto aparece en la definición de los conceptos más importantes del  cálculo.  Para  ir  en  búsqueda  de  una  definición  del  límite, exploremos la siguiente situación. En la gráfica a la derecha se observa que los valores que toma una función f(x) en un intervalo abierto (c – δ, c + δ) se va aproximando a un punto denominado c por ambos lados (izquierda y derecha). Así el límite de f(x) es L cuando x tiende a c.

1. MÉTODO NUMÉRICO

Este método permite estimar el límite de una función al evaluar el comportamiento de la misma en varios puntos cercanos a x = c, en dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque por su izquierda y otro que se acerque por su derecha para estimar el límite. Veamos los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1: Evalúa la función   F(X)=x2 +1   en varios puntos cercanos a x = 2 y utilizar los resultados para estimar el límite.

Construye una tabla de valores cercanos a x = c, en este caso x = 2. Recuerda asignar valores que se acercan tanto a la izquierda y derecha de c.

x	1.9	1.99	1.999	2	2.001	2.01	2.1
f(x)	4.61	4.9601	4.996001	¿?	5.004001	5.0401	5.41

En la tabla de valores se observa que tanto por la izquierda y por la derecha cuando x = 2  es 5. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 5. En la notación,  lim x→2 f (x ) =5.

EJEMPLO 2: Evalúa la función  F(X ) = x2-7x+10/x-5 en varios puntos cercanos a x = 5 y utilizar 

los resultados para estimar el límite.  

Sustituye cada uno de los valores asignados a x en  f(x ) =   x2-7x+10/x-5        

x	4.9	4.99	4.999	5	5.001	5.01	5.1
f(x)	2.9	2.99	2.999	¿?	3.001	3.01	3.1

 En la tabla de valores se observa que cuando x = 5, se acerca a 3 tanto por la izquierda y  por la derecha. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 5 es 3. 

En la  notación, lim  x → 5f (x ) =3     

2.      MÉTODO GRÁFICO

 Este método consiste en analizar la función por medio de su comportamiento gráfico. Los primero que se debe realizar es la construcción de la gráfica de la función. Puedes asignar valores a x para obtener y para dibujar los pares ordenados, utilizar una calculadora gráfica o una calculadora gráfica en línea.

EJEMPLO 1: Evalúa la función  f(x ) = 5/x2   en varios puntos cercanos a x = 0.  

 Empleemos una calculadora gráfica para evaluar el  comportamiento gráfico de la función. En la gráfica se  observa que cuando x tiende a 0 la función sigue  creciendo al infinito. Por lo cual, la función no tiene  límite.

EJEMPLO 2: Evalúa la función f (x ) = x2+1    cuando x tiende a 2.  

 En la gráfica se observa que f(x) se acerca a 5 tanto por la  izquierda como la derecha cuando x tiende a 2. Por lo cual, 

lim     x2 + 1  =5 

x→2    

    EJEMPLO 3: Evalúa la función     lim x→2   f(x )   
                                                        f(x) = {x2+3 ≠2
                                                                     4x=2
Aunque cuando x = 2, existe un punto en (2, 4), al evaluar f(x) tanto por la izquierda como por la derecha tiende a 7. Por lo cual, el límite es 7. O sea,                                               
lim x→2   f(x )=7 

3. MÉTODO ALGEBRAICO 

 Hemos explorado el método numérico y el método gráfico para estimar el límite de una función. En esta sección emplearemos los algoritmos algebraicos para calcular el límite de una función dada. Antes de discutir los ejemplos, estudie las siguientes propiedades de los límites. 

EJEMPLO 1: Determina el límite de la función  f(x ) = 3x2-4x+1         cuando x = 2.   

lim x→2  3x2-4x+1          = lim x →2 3x2 - lim x →2  4x + lim x→2  1  Propiedad de la suma y resta                                                       = 3(2 )2- 4 (2)+1   

                     el limite es =  5

EJEMPLO 2: Encuentra        lim x→-3 =6x3 -9x2

                                           lim x→-3 =  6(-3)3- 9(-3)2

                                           lim x→-3 =  6(-27) - 9(-9)   

                             El límite de f(x) es = -243  

Ejercicios

Problema 1

suponer que María vende sillas en 500 pesos cada una. Podemos obtener una función que nos diga el dinero que vamos a recibir en función de las ventas.

Podemos darnos cuenta de que el número de sillas que podemos vender es variable, por ello le llamaremos x, será la variable independiente porque su valor dependerá de muchas circunstancias. A la cantidad de dinero que recibiremos le llamaremos f(x), será la variable dependiente porque su valor depende de x, por lo tanto la función de la forma algebraica quedará:

f(x)=500x 

•La función anterior representa el dinero que recibirá María, vamos a suponer que por cada silla vendida, María debe pagar 300, además debe pagar 500 pesos de renta mensual, la función que nos muestra la salida de dinero, puede ser g(x), la función quedaría:

•g(x)=300x+500

•Observemos que los 300 se están multiplicando por x, eso se debe a que el pago depende de si hay ventas o no, en cambio los 500, no tiene x, porque el pago se debe hacer, se venda o no.

•Si queremos obtener una función que nos muestre las ganancias, solo tendríamos que restar los ingresos y los gastos. Llamaremos s(x) a la ganancia, entonces la función puede quedar:

•s(x)=f(x)-g(x)

•s(x)=500x-(300x+500)

•s(x)=500x-300x-500

•s(x) =200x-500

•La función anterior nos muestra la cantidad de dinero que ganaremos en función de las ventas, esta forma de expresar la función es de la forma algebraica.

sen 30° = 4/x 

sen 30° = 1/2

4/x = 1/2

x = 8

cos 30° = y / x

cos 30° = .86

y / x = y / 8 = .86

y = 6.9

TIPO DE FUNCIONES

     Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente y= mx+b
que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.
m es denominada la pendiente de la recta.
b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b). 
     

      Funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

         Función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es             una curva            llamada parábola cuyas características son:
        Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y                 admite un máximo.
         Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
          Eje de simetría: x = xv.
          intersección con el eje y.
         Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado

      Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la                     magnitud       de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas      rectangulares      está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado       inicial coincide con la parte positiva del eje x.

FUNCIONES

1. Para comenzar hablar del tema de las funciones, es necesario saber, 
2. ¿Qué es una función? 
3. Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; siendo éstos conjuntos, el Dominio y el Codominio. Esta regla de asociación no permiterelacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio. 
4.  ¿Qué es el Dominio? 
5. El dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.
6. ¿Qué es el Codominio? 
7. El codominio es lo posible que salga de una función, por lo tanto, es la gama de valores que puede tomar. En el caso del plano son todos los valores que pude tomar la función en el eje de las “y”.
8.  Variables: Dependiente, Independiente y Constantes.
9.  VARIABLES DEPENDIENTES.
10. Son aquellas variables que dependen del valor que toma las otras variables  Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a  los valores que se le subministre a x.
11.  VARIABLE INDEPENDIENTE. 
12. Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. VARIABLE CONSTANTE. Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo: Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

Vídeos para practicar