FUNCIONES MATEMATICAS: LIMITES Y SUS METODOS

CONCEPTO DE LIMITE

Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A medida que avance el curso se notará que éste concepto aparece en la definición de los conceptos más importantes del cálculo. Para ir en búsqueda de una definición del límite, exploremos la siguiente situación. En la gráfica a la derecha se observa que los valores que toma una función f(x) en un intervalo abierto (c – δ, c + δ) se va aproximando a un punto denominado c por ambos lados (izquierda y derecha). Así el límite de f(x) es L cuando x tiende a c.

1. MÉTODO NUMÉRICO

Este método permite estimar el límite de una función al evaluar el comportamiento de la misma en varios puntos cercanos a x = c, en dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque por su izquierda y otro que se acerque por su derecha para estimar el límite. Veamos los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1: Evalúa la función F(X)=x2 +1 en varios puntos cercanos a x = 2 y utilizar los resultados para estimar el límite.

Construye una tabla de valores cercanos a x = c, en este caso x = 2. Recuerda asignar valores que se acercan tanto a la izquierda y derecha de c.

x	1.9	1.99	1.999	2	2.001	2.01	2.1
f(x)	4.61	4.9601	4.996001	¿?	5.004001	5.0401	5.41

En la tabla de valores se observa que tanto por la izquierda y por la derecha cuando x = 2 es 5. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 5. En la notación, lim x→2 f (x ) =5.

EJEMPLO 2: Evalúa la función F(X ) = x2-7x+10/x-5 en varios puntos cercanos a x = 5 y utilizar

los resultados para estimar el límite.

Sustituye cada uno de los valores asignados a x en f(x ) = x2-7x+10/x-5

x	4.9	4.99	4.999	5	5.001	5.01	5.1
*f(x)*	2.9	2.99	2.999	¿?	3.001	3.01	3.1

En la tabla de valores se observa que cuando x = 5, se acerca a 3 tanto por la izquierda y por la derecha. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 5 es 3.

En la notación, lim x → 5f (x ) =3

2. MÉTODO GRÁFICO

Este método consiste en analizar la función por medio de su comportamiento gráfico. Los primero que se debe realizar es la construcción de la gráfica de la función. Puedes asignar valores a x para obtener y para dibujar los pares ordenados, utilizar una calculadora gráfica o una calculadora gráfica en línea.

EJEMPLO 1: Evalúa la función f(x ) = 5/x2 en varios puntos cercanos a x = 0.

Empleemos una calculadora gráfica para evaluar el comportamiento gráfico de la función. En la gráfica se observa que cuando x tiende a 0 la función sigue creciendo al infinito. Por lo cual, la función no tiene límite.

EJEMPLO 2: Evalúa la función f (x ) = x2+1 cuando x tiende a 2.

En la gráfica se observa que f(x) se acerca a 5 tanto por la izquierda como la derecha cuando x tiende a 2. Por lo cual,

lim x2 + 1 =5

x→2

EJEMPLO 3: Evalúa la función lim x→2 f(x )
f(x) = {x2+3 ≠2
4x=2
Aunque cuando x = 2, existe un punto en (2, 4), al evaluar f(x) tanto por la izquierda como por la derecha tiende a 7. Por lo cual, el límite es 7. O sea,
lim x→2 f(x )=7

3. MÉTODO ALGEBRAICO

Hemos explorado el método numérico y el método gráfico para estimar el límite de una función. En esta sección emplearemos los algoritmos algebraicos para calcular el límite de una función dada. Antes de discutir los ejemplos, estudie las siguientes propiedades de los límites.